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第一题（45分）

设n为正整数，a，a，…，a_n为实数，满足∑_i=1^na_i=0且∑_i=1^na_i2=1。证明：对任意实数x，有∑_i=1^n（a_i-x）2≥n（n-1）。

江辰看完题干，脑子里瞬间跳出三种解法。

解法一：直接用柯西不等式+均值不等式，三步搞定。

解法二：转化成二次函数最值问题，用判別式。

解法三：用拉格朗日乘数法（虽然超纲，但简洁）。

他选了第一种，提笔就写。

“由条件∑a_i=0，∑a_i2=1，则∑（a_i-x）2=∑a_i2-2x∑a_i+nx2=1+nx2。”

“需证1+nx2≥n（n-1），即nx2≥1（n-1）。”

“由柯西不等式：（∑a_i2）（∑12）≥（∑a_i）2，即n≥0，恆成立。但需另寻不等式……”

“考虑∑（a_i-a）2=∑a_i2-na2=1，其中a=0，故∑a_i2=1已给出。”

“实际上，直接由∑（a_i-x）2=∑a_i2-2x∑a_i+nx2=1+nx2，当x=0时取最小值1，而需证1≥n（n-1）？不对，当n＞1时1＜n（n-1），故需调整思路……”

江辰停笔，重新看题。

哦，看错了。

不是证∑（a_i-x）2≥n（n-1），而是要证∑（a_i-x）2≥n（n-1）对任意x成立。

那更简单了。

“设f（x）=∑（a_i-x）2=nx2-2（∑a_i）x+∑a_i2=nx2+1（因为∑a_i=0）。”

“这是关於x的二次函数，开口向上，最小值为1（当x=0时）。”

“需证f（x）≥n（n-1）对任意x成立，即证最小值1≥n（n-1）？等等，1≥n（n-1）若且唯若n≤2……”

江辰皱了皱眉。

这题……有问题？

他仔细再读一遍题干。

然后他明白了。

“原来如此，是我理解错了。条件∑a_i=0，∑a_i2=1，但a_i是实数，可正可负。”

“要证的是∑（a_i-x）2≥n（n-1），即nx2+1≥n（n-1），也就是nx2≥1（n-1）。”

“这不是恆成立的，因为x可以取0。所以……题目隱含了x的取值范围？不对，题目说『对任意实数x』，那这不等式就不成立。”

江辰陷入沉思。

三秒后，他反应过来。

“操，被出题人套路了。”

“这题的正確理解是：要证的是存在某个与a_i无关的常数c，使得∑（a_i-x）2≥c对任意x和任意满足条件的a_i成立，然后求c的最大值。”

“而c的最大值就是n（n-1）。”

“所以证明分两步：一是证∑（a_i-x）2≥n（n-1）对所有满足条件的a_i和某个特定的x成立；二是证这个下界是紧的，即存在一组a_i和x使等號成立。”

想通了这一点，江辰笑了。

“出题人有点东西啊，还玩文字游戏。”

他提笔，重新写：

“证：由柯西不等式，（∑_i=1^na_i）2≤n∑_i=1^na_i2，即0≤n·1，恆成立，但此不等式无法直接得到所需结论。”

“考虑固定a_i，令f（x）=∑（a_i-x）2=nx2+1，最小值为1（当x=0时）。但1可能小於n（n-1）（当n＞2时），故需考虑调整a_i使下界最大化。”

“实际上，由条件∑a_i=0，∑a_i2=1，可得∑_i≠ja_ia_j=-12（展开（∑a_i）2=0得）。”

“则∑（a_i-x）2=1+nx2，要使其下界最大，等价於求1+nx2的最小值？不对，应该是在所有满足条件的a_i中，求min_xmax_a_i∑（a_i-x）2？也不是……”

江辰摇了摇头。

“妈的，这题比我想像的麻烦。”

不过也只是“麻烦”，不是“难”。

不过也只是“麻烦”，不是“难”。

他换了个思路。

“直接用拉格朗日乘数法吧，虽然超纲，但管他呢。”

“考虑优化问题：给定∑a_i=0，∑a_i2=1，求min_xmax_a_i∑（a_i-x）2的下界。”

“固定x，求max_a_i∑（a_i-x）2在约束下的最大值……”

“由拉格朗日函数l=∑（a_i-x）2+λ∑a_i+μ（∑a_i2-1），求偏导得2（a_i-x）+λ+2μa_i=0，解得a_i=（2x-λ）（2+2μ）……”

“代入约束解λ，μ，最后得最坏情况下∑（a_i-x）2=n（n-1）……”

三分钟，密密麻麻写了一整页。

写完，江辰鬆了口气。

“搞定。”

他看了眼时间：943。

……

讲台上，监考老师刘月一直在盯著江辰。

看到江辰三分钟就写完第一题，她眼珠子都快瞪出来了。

“这……这怎么可能？”

她忍不住走下讲台，假装巡视，走到江辰身后。

然后她看到了江辰的答案。

从最初的错误理解，到重新分析，再到用拉格朗日乘数法完整求解……

步骤严谨，逻辑清晰。

而且……全对。

刘月感觉自己的世界观受到了衝击。

这可是二试第一题啊！